tam sayılar ve özellikleri ödevi

TAM SAYILAR VE TAMSAYILARDA DÖRT İŞLEM ÖZELLİĞİ

Geleneksel olarak, Sayı bir çokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir. Fakat modern matematikte artık büyüklük belirtmediği halde geleneksel sayıların çeşitli özelliklerine benzer özellikler taşıyan nesnelere de sayı denmesi adettendir.
Sayı kavramının gelişimi aşağı yukarı aşağıdaki sırada olmuştur.
• Doğal Sayılar, matematikte N harfi ile gösterilir ve saymada kullanılan {0, 1, 2, 3,...} gibi sayılardan oluşur. sayı kavramının en doğal başlangıç noktasını oluştururlar.
• Doğal sayılara negatif simetrileri eklenirse Tam Sayılar bulunur. Tam sayılar Z ile gösterilir. Çıkarma işleminin kolayca anlamlandırılabilmesi için (mesela borçlar hesabını kolaylaştırmak için) geliştirilmişlerdir.
• Tam sayılar kullanılarak oluşturulan kesirlere denk gelen büyüklüklere rasyonel sayılar denir ve Rasyonel Sayılar Kümesi Q ile gösterilir. Hisseli hesapları kolaylaştırmak için sayı kavramına dahil edilmişlerdir.
• Eğer rasyonel sayılara virgülden sonra kendini tekrar etmeden devam eden ondalıklı sayılar olan İrrasyonel Sayılar da eklenirse Reel Sayılar Kümesi'ne ulaşılır ve bu küme R harfi ile ifade edilir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dahil edilmişlerdir.
• Tüm cebirsel denklemleri çözebilmek için Reel sayılar tekrar genişletilirse Kompleks Sayılar Kümesi elde edilir. Kompleks sayıların sembolü C dir. Rönesans döneminde gerçekleşen cebirsel denklemlerin çözüm metodlarındaki ilerlemelerin bir uzantısı olarak sayı kavramına eklenmişlerdir.
DOĞAL SAYILAR, TAMSAYILAR 1) 8 . 107 + 5 . 103 + 4. 10 sayısı, aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm: 8 . 107 + 5 . 103 + 4. 10 = 8 . 107 + 0 . 106 + 0 . 105 + 0 . 104 + 0 . 103 + 0 . 102 + 4 . 10 + 0 . 100 şeklinde yazılabilir. Öyleyse, sayı 80005040’tır. 2) Üç ile tam bölünebilen iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır? Çözüm: Aranan sayı, A = 12 + 15 + 18 + … + 96 + 99’dur. A = 3 . (4 + 5 + 6 + … + 32 + 33) = = 3 . (33 . 17 – 3 . 2) = 3 . (561 – 6) = 3 . 55 = 1665 3) 8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 – x = 103 ise x kaçtır? Çözüm: Toplamadaki ardışık terimlerin farkı 5 olduğundan, A = 8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 toplamında terim vardır. 4) 8 tane sayının aritmetik ortalaması 15’tir. Bu sayılara 21 ve 29 katılsaydı, aritmetik ortalama kaç olurdu?
TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM
Toplama İşlemi:a,b,c N a+b=c toplama işleminde, a ile b’ ye toplanan sayılar, c’ ye de toplam denir.
Toplama İşleminin Özellikleri
1)kapalılık özelliği:İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır.
a N b N için (a+b) N
2)değişme özelliği:Toplama işleminde, toplanan sayıların yerleri değişirse toplam değişmez.
a N ve b N için; a+b=b+a
Toplamanın:

1.Değişme.özelliği:a+b=b+a

3)birleşme özelliği:Üç doğal sayının toplamını bulmada, terimlerden istenen ikisinin toplamı üçüncü ile toplanabilir.
2.Birleşme.özelliği:a+(b+c)=(a+b)+c

Eğer a=b+k eşitliğini sağlayan pozitif bir k sayısı varsa; a, b’den büyüktür denir. a>b şeklinde gösterilir. Eğer a ve b herhangi iki pozitif sayı ise a=b, ab olur.

Ardarda yapılan toplama işlemiyle bir ikinci onluk sistem işlemi tarif edilebilir. 5+5+5 şeklindeki
a N,b N ve c N için; (a+b)+c=a+(b+c)
4)etkisiz eleman:Sıfır sayısı,doğal sayılar kümesinde,toplama işlemine göre etkisiz elemandır.

Çıkarma İşlemi:a,b N, a─b=a+(─b)=c çıkarma işleminde a eksilen,b çıkan,c farktır.

Çarpma İşlemi:a,b,c N, a×b=c çarpma işleminde, a çarpan,b çarpan,c ise çarpımdır.
Çarpma İşleminin Özellikleri
1)kapalılık özelliği:İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır.
a N,b N için; a×b=c,c N
2)değişme özelliği:İki doğal sayı çarpılırken, elemanların yerleri değiştirildiği zaman sonuç değişmez.
a,b N için; a×b=b×a
3)birleşme özelliği:Üç doğal sayının çarpma işleminde,terimlerden ikisinin çarpımı üçüncü ile çarpılabilir.
a,b,c N için; (a×b)×c=a×(b×c)
4)yutan eleman:Sıfır sayısı,doğal sayılar kümesinde,çarpma işlemine göre yutan elemandır.
5)etkisiz eleman:Bir(1) sayısı,doğal sayılar kümesinde, çarpma işlemine göre etkisiz elemandır.
6)dağılma özelliği:Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
a,b,c N için; a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
a×(b-c)=(a×b)-(a×c)

bir işlem 3x5 şeklinde gösterilebilir. Böylece yapılan işleme çarpma işlemi denir. 5 sayısı çarpılan, 3 sayısı çarpan, işlemin sonucu da çarpım diye isimlendirilir. x sembolü çarpı diye okunur. Genellikle a.b veya basitçe ab şeklinde de yazılabilir.

3.Çarpma.işleminin.değişme.özelliği:ab=ba

4.Çarpma.işleminin.birleşme.özelliği:a(bc)=(ab)c

5.Çarpmanın.toplama.üzerine.dağılma.özelliği:(a+b)c=ac+bc

Ardarda toplanan k kadar a’nın ka yazıldığı gibi, ardarda çarpılan k kadar a da ak şeklinde yazılır. Burada a taban, k de üs diye adlandırılır.

AşağıdakiFormüllerçarpmatanımındançıkarılabilir:

6.am.an=am+n

7.(am)n=amn

8.am.bm=(ab)m

9.am/an=am-n(m>n)

Bölme İşlemi: a N, b {N─0} ve c,d N için; a÷b=c bölme işleminde,
a bölünen, b bölen, c bölümdür.
Bölme işlemi: Eğer üç pozitif a, b ve c sayıları arasında ab=c eşitliği sağlanıyorsa a ve b’ye, c’nin bölenleri ve a ile b, c’yi böler denir. b=a/c şeklinde yazılır.

Bölmede bir sayısı etkisiz elemandır ve bütün pozitif sayıların bölenidir. Eğer c sayısı, her biri birden büyük pozitif bir sayı olan a, b sayılarının bir çarpımı şeklinde ab ile gösterilirse c’ye asal olmayan sayı denir. Kendinden ve birden başka sayıya bölünmeyen sayılar asal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

Pozitif sayılardan meydana gelen bir kümede bütün sayıları bölen en büyük sayıya ortak bölenlerin en büyüğü (o.b.e.b.) denir. Pozitif bir m sayısı diğer bir çok sayıların bir katı ise bu sayıya en küçük ortak katsayı adı verilir.

Bayağı kesirler: Bazı problemlerde bütün ölçüler her zaman tam sayılarla ifade edilemezler. Genel olarak d.(1/d)=1 özelliğinden faydalanarak kesir birimi 1/d şeklinde gösterilir. a/d kesrinde d’ye payda, a’ya da pay denir. a/d pozitif kesri eğer ad ise bileşik kesir ismi verilir. Pozitif sayılar ve kesirler bazan pozitif rasyonel sayılar diye de isimlendirilir.

Genelde bütün pozitif rasyonel sayılar için geçerli olan yukarıda gösterdiğimiz ilk beş kural, bayağı kesirler için de geçerlidir. Kesir tanımından kolayca görüleceği gibi paydaları aynı olan iki kesir, toplamı verilen kesirlerin paylarının toplamı ile aynı paydadan meydana gelen bir kesirdir. Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için mesela a/d ve b/c kesirinde d ve c sayılarının en küçük ortak katları bulunur. m=k.d=f.c eşitliğini sağlayan k ve f sayıları bulunduktan sonra işlem şöyle olur:

a/d=ka/kd=ka/m; b/c=fb/fc=fb/m

böylece a/d+b/c=ka/m+fb/m=(ka+fb)/m

İki kesirin çarpımı ve bölümü aşağıdaki gibi tariflidir.

(a/d).(b/c)=(ab)/(bc), (a/b):(c/d)= (a/b).(d/c)= (ad/bc)

İrrasyonel sayılar: a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. 3 5, 2 gibi sayılar ve p (pi) bunlardandır.

Onluk sistem: Bütün sayılar on’un kuvvetleri şeklinde ifade edilebilir. Mesela 32158= 3.104+2.103+1.102+5.101+8.100 taban olarak 10’luk sistemin kullanılması ellerde 10 parmağın olmasından ileri gelmektedir.
TAM SAYILAR
Matematiğin neredeyse başlangıcı denebilecek aksiyomlar bütünüdür.
1 bir doğal sayıdır.
Her doğal sayıya karşılık ardışığı diyeceğimiz bir doğal sayı vardır.
Ardışıkları eşit olan doğal sayılar bir birine eşittir.
Doğal sayılardan oluşan bir küme 1 doğal sayısıyla birlikte her doğal sayıyı ardığışı ile birlikte içeriyorsa, o küme doğal sayılar kümesinin aynısıdır.
Tam sayılar küme sinin negatif sayı ı içermeyen en kapsamlı alt kümesinin elemanları. Bu tanım M.E.B.müfredatında bulunan bir tanımdır. \mathbb{N} = \left\{ 0,1,2,3,...\right\}
Doğal sayılar kümesinin 0 elemanı dışındaki elemanlarına sayma sayıları denilir (\mathbb{N}^{+}). Üniversite müfredatında Doğal Sayılar 1 den başlar.Yani üniversite müfredatında Doğal Sayılar Kümesiyle Sayma Sayıları Kümesi aynıdır. Doğal sayılar kümesi sonsuz ve sayılabilen bir kümedir.
Tam sayılar , doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...; -0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematik te tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da \mathbb{Z} şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir.
2- Tam Sayılar Künesi 0 dan mı başlar 1 den mi?
Bu konuda Matematikçilerin kesin bir fikir birliği olmamakla beraber büyük çoğunluğu 0 sayısını doğal sayı olarak kabul etmektedirler. Doğal Sayılar (Natural Numbers) adı üzerinde günlük hayatta karşılaştığımız varlıkların sayısını belirtir. 1 elma , 2 ekmek, 10 lira gibi. Evet bütün elmalar doğal olarak bir bütündür (tabi yarısını yiyip bırakırsak kalan yarım doğal olmaz).
Burada dikkat etmemiz gereken birşey şudur. Nasıl 1,2,3 elmadan bahsedebiliyorsak; hiç elma olmama durumundanda bahsedebiliriz (şu an bende olmadığı gibi). Buda doğal bir durumdur ve sizce hangi sayı ile ifade edilmelidir. Tabiki 0 ile...
Ayrıca Doğal Sayılarda dört işlem yapılabilmektedir. 0 sayısı olmadan basamaklardan. onluk sistemden bahsedemiyeceğimiz için bencede 0 sayısı bir Doğal Sayı olarak kabul edilmelidir. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Sayma Sayılar Kümesi ise 1 den başlamaktadır. Sınıfta yoklama yapılırken sadece mevcutlar sayıldığı için 0 kullanılmaz.
0 ile 1 Neden Asal Sayı Değildir?veya Asal Sayılar Neden 2 den başlar?
Asal Sayıların tanımını iyi anlarsak sorunun cevabı anlaşılmış olur. Asal Sayı; Sadece 1 ve kendisine bölünebilen doğal sayılardır. Demekki Asal Sayılar doğal sayı olmalıdır. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}.
İkinci şart; 1 ve kendisine tam olarak bölünebilmelidir.Başka bir deyişle asal sayıların tam 2 tane böleni olmalıdır.
0 sayısı bütün doğal sayılara bölünebilir(0 hariç). 0 :1 = 0 ; 0 :2 = 0 ; 0 :10 = 0 ...Fakat 0 sayısı kendisine bölünemez. 0 :0 = belirsizdir. Dolayısıyla 0 sayısı asal sayı tanımına uymamaktadır.(Hem kendisine bölünemiyor, hemde bölen sayısı 2 den fazladır.)
1 sayısının ise sadece bir tane böleni vardır. 1 : 1 = 1, başka böleni olmadığı için asal sayı değildir. Tanımı sağlayan ilk doğal sayı (çift sayı olmasına rağmen) 2'dir.
2 :1 = 2 1'e bölünebilir.
2 :2 = 1 Kendisine bölünebilir